高等数学重要定理总结

高等数学重要定理总结

定理是证明题的关键，包括著名定理与小定理。

一、函数、极限与连续

1.最值定理：函数在一个闭区间内连续则必有最大值与最小值
2.有界性定理：函数在一个闭区间内连续则必有界
3.介值定理：函数在一个闭区间内连续且区间端点函数值不相等，则该闭区间内必有一点的函数值介于端点函数值之间
　　扩展：函数在一个闭区间内连续且区间端点函数值不相等，则该闭区间内必有一点的函数值介于该区间内的最大值与最小值之间（常与1共同使用）
4.零点定理：函数在一个闭区间内连续且区间端点函数值符号相反，则该闭区间内至少有一点的函数值为0
　　（可用于证明方程根的存在性）

5.极限的有界性：
　　-数列若收敛(n->∞的极限存在)则必有界
　　-函数若在一点处极限存在，则在该点去心邻域有界
6.极限的保号性：
　　-数列在n->∞时有一个正数极限，则肯定有一点之后的所有值都大于0，反推成立，反之亦然
　　-函数若在一点处有一个正数极限，则存在一个距离δ，在范围为该距离的去心邻域内的所有点函数值都大于0，反推成立，反之亦然

7.夹逼准则：略
8.单调有界准则：单调有界数列必有极限

二、导数、微分与中值定理

1.费马引理：可导函数在一点取极值，则该点导数为0
　　(因可导即左导=右导，而左导右导符号相反而得证)
2.罗尔中值定理：函数在闭区间连续，开区间可导，若在该区间两端点函数值相等，则区间内必有一点导数值为0
　　（由最值定理+费马引理证出，可用于证明方程根的存在性）
3.拉格朗日中值定理：函数在闭区间连续，开区间可导，则该区间内必有一点的导数值等于该区间端点连线的斜率
　　（由辅助函数——端点连线与函数值的差值，应用罗尔定理得到）
4.柯西中值定理：两函数在闭区间连续，开区间可导，则增量比值=一点处导数比值
　　（启发来源为拉格朗日中值定理的参数方程形式，证明由辅助函数——定理表达式全移到一边，应用罗尔定理得到）