高等数学重要定义整理

高等数学重要定义整理

一、函数、极限与连续

1.函数：两个数集之间多对一的映射关系
2.复合函数：数集A与数集B有多对一的关系，数集B与数集C亦有多对一的关系，A映射出来的B必须有一个以上的元素可以映射C，就称A到C的映射关系为复合函数
3.反函数：两个数集之间一对一的映射关系
4.数列的极限：数列一定能在未来某个时候(n > N)达到接近一个常数的要求(ɛ)，该常数称为该数列的极限
5.函数的极限：
5.1 自变量趋于无穷大时的极限：函数一定能在未来某个时候(|x| > X)达到接近一个常数的要求(ɛ)，该常数称为该函数趋于无穷大时的极限（把绝对值拿掉可区分趋于正无穷与负无穷的极限）
5.2 自变量趋于有限值时的极限：函数一定能在靠近该有限值的某个时候(0 < |x - x0| < δ)达到接近一个常数的要求(ɛ)，该常数称为该函数趋于有限值时的极限（把绝对值拿掉可区分左极限右极限）
6.无穷大：一个函数，在一点或无穷远处要多大有多大
7.无穷小：一个函数，在一点或无穷远处要多小有多小
8.在x0连续：在点x0的邻域内有定义，且x0到两侧点不突变（limΔy = lim(f(x0+Δx) - f(x0) = 0)————Δy是无穷小
9.间断点：在某点处不连续的点
9.1 第一类间断点：较为温和的间断点
9.1.1 可去间断点：左右极限存在且相等
9.1.2 跳跃间断点：左右极限存在但不等
9.2 第二类间断点：变化较为剧烈
9.2.1 无穷间断点：在一点处趋于无穷
9.2.2 振荡间断点：sin(1/x)的x=0点

二、导数与微分

1.一点导数：Δy与Δx的比值的极限。特别注意Δy一定是一动一静。
2.一点微分：增量Δy的线性主部f'(x0)Δx(即Δx->0时,Δy与dy互为等价无穷小)。特别注意Δy一定是一动一静。
3.一点可导：该点某邻域有定义，且Δy与Δx的比值的极限存在（即左极限等于右极限且极限不为无穷）————Δy是Δx的同阶或高阶无穷小
4.一点可微：该点某邻域有定义，且A为常数————Δy是Δx的同阶或高阶无穷小
5.区间上可导/可微：区间上每一点都可导/可微（分为开区间与闭区间）

三、微分中值定理及导数应用

1.费马引理：可导函数极值点处的导数为0
2.极值点：在点x0的邻域内有定义，且该点函数值在该邻域内最大/最小
3.驻点：导数为0的点
4.在区间I上是凹的：f(x)在I上连续，且任意两点中值小于均值(f((x1+x2)/2) < ((f(x1)+f(x2))/2))
5.在区间I上是凸的：f(x)在I上连续，且任意两点中值大于均值(f((x1+x2)/2) > ((f(x1)+f(x2))/2))
6.拐点：连续曲线弧上凹与凸的分界点
7.渐近线：
水平渐近线——limf(x) = A
铅直渐近线——limf(x) = ∞
斜渐近线 —— lim(f(x) - ax - b) = 0

四、不定积分

1.原函数：在一个区间内的每一个点原函数求导都为该函数
2.不定积分：一个函数的原函数的全体